[銘] Market Design 筆記（二）

前面用腎臟移植的例子討論市場規模的重要性。接下來Roth用紐約市的高中選校問題來討論市場夠不夠順暢，能不能在短時間內消化大量供給需求的重要性。

他們的原先的系統是每位學生從數百間學校中選擇排序出5個志願，其後分發單位會將申請表遞給這5間學校。學校則從這茫茫的申請表中挑出一些中意的學生，並寄信通知學生們。錄取多間學校的學生可以從中選擇，其他的學生則等待下一輪的錄取機會。這樣操作個幾輪，勝下完全沒有被錄取的則隨機分配到不同學校去。

這樣一套制度下來的結果當然一團亂，
聊舉其中幾項：

1.很多學生沒有學校去，最後被亂分。想想其實很合理，畢竟他們只有5間志願可以選擇，他們研究的那些樣本中，紐約的十來萬學生，有四萬多人在第一輪是沒有被分到的，而且最後有一萬多人是隨機亂分到不同學校去。

2.學校在玩這個系統。學校怎樣玩？他們在這個機制運作時故意保留一些名額。留下的名額何用？反正最後的一萬多人要亂分，他們就拿著這些名額去挑那些他們比較想要的學生，寧願這樣選最後剩的也不要是最後剩的亂分給他們。

這該怎樣處理？他們找上了Roth，Roth提出的是在配對市場一個有名的演算法：Gale-Shapely演算法。簡單來說，學生排出12個志願序給學校們，在第一輪，學校收到一份把他們田為第一志願的名單，並從這些學生中選出他們想要的數額。接著是第二輪，在地一輪沒有被學校留下來的學生繼續參與，這時學校會再收到一些人，是那些第一輪沒有被收到，但是第二志願填他們的學生，學校這時候看看手上有的學生還有這些第二輪填進來的學生，從這全部裡面挑出他們最想要的。這個時候或許某些第一輪被選進來的會被擠掉。不管，就放生他們回去參加下一輪。

依照這樣的演算法玩到最後，我們可以證明結果是穩定的：不會有一對學生和學校彼此互相願意放棄現有的結果去追求對方。[註一] 經過這樣的演算法修正，紐約發現學生們選到心中理想志願的人數明顯提昇了，等於說這一套演算法造福了學生，讓他們選到更理想的學校。[註二]而且再這個同時他們還發現了幾個有趣的議題，例如：怎樣去區分一樣的學生，也就是如果他們分數或者是各方面看起來相等的時候怎樣選？他們目前是用隨機的方式去處理這個議題，但如果你不允許隨機的話，勢必他們要透過交易的方式解決，就會衍生大家故意去選比較受歡迎的學校而不是自己最喜歡的學校。

最後Roth提到的是安心的重要性。這裡的安心指的是願意將自己的偏好誠實顯示出來。他舉的例子是Boston的幼稚園入學。他們的規則是積分制度，每個人會有一個明確的積分，這個分數是依照你和那一所學校的距離是不是很近，還有你是不是有姐姐哥哥已經在裡面就讀了，依照這樣子去算出一個分數，每個人填一些志願送出。

波士頓政府一開始覺得這沒有任何問題，是Roth他們發現問題以後，用盡辦法去說服他們。他們的問題在哪裡？




註一：這個證明很容易，假設有這樣的情況，那個學生肯定是之前曾經向那間學校提出申請了。但是那個學校卻收了另外一些學生，顯然是學校手上有的比這位學生還要優秀。
註二：是用Stochastic Dominance的意義上改善。